Práctica 2: Diferenciación Numérica

En esta práctica nos ocuparemos de aproximar el valor de la derivada

de una función en un punto fijado  o también el valor de la derivada segunda

o de las derivadas de orden superior.

El hecho de usar la aproximación numérica de derivadas de funciones es el mismo que con la cuadratura numérica, que no se conozca la expresión analítica de  o  que ella sea muy complicada.

Por otro lado, las fórmulas de derivación numérica son esenciales para construir métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.

Consideraremos fórmulas del tipo

Elegidos y fijados , , los nodos  y los coeficientes , la fórmula asocia a cada  un número real.

Así, si suponemos que  coincide con  y que  tenemos la siguiente fórmula

con   y se llama fórmula de diferencia progresiva. Su grado de exactitud es 1.

Esta formula contiene el término , que se llama termino de error. Este término contiene el factor , que se trata de una derivada de orden superior a , lo cual nos indica la clase de funciones para las cuales la función de aproximación resulta válida.

La velocidad de convergencia aumentará cuando menor sea el valor de , y por tanto también conseguiremos una mejor aproximación.

En esta práctica vamos a aproximar la primera derivada de la función  utilizando la fórmula anteriormente descrita con orden 2

y orden 4

Vamos a emplear distintos valores de  para comprobar que como menor es el valor de  mejor es la aproximación. Esto lo calcularemos mediante el término del error.

El algoritmo que hemos implementado calcula, según el valor de  una aproximación de la derivada y el error absoluto y relativo que se produce al realizar la aproximación.

Los resultados obtenidos para la citada función  son los siguientes:

Para la fórmula de orden 2:

Observamos que efectivamente aumenta la convergencia de la fórmula a medida que disminuimos el valor de la   ya que subdividimos más el recinto sobre el cual aplicamos la fórmula. También observamos que con esta fórmula de orden 2 necesitamos usar valores de  pequeños para conseguir una buena aproximación, ya que en caso contrario obtenemos un error considerable y por lo tanto una mala aproximación.

Para la fórmula de orden 4:

 

Sin embargo, podemos observar que con la fórmula de orden 4 no obtenemos error prácticamente apreciable para  relativamente grandes ya que converge muy rápidamente.

Así concluiremos que converge más rapidamente el método de orden 4 que el método de orden 2, no siendo así necesaria la subdivisión del recinto en partes muy pequeñas, es decir, usando cotas de  muy pequeñas.

derivación.for

 

 

c     Aproximación de derivadas de funciones.

 

      program derivacion

 

      implicit real*8 (a-h,o-z)

 

 

c     La función que aproximaremos será f(x) = ln x

      f(x) = dlog(x)

 

      f_der(x) = 1.0d+00/x

 

 

c     Función de aproximación de grado 2

      f_aprox2(x,h) = (1.0d+00/(2.0d+00 * h)) * (f(x+h) - f(x-h))

 

c     Función de aproximación de grado 4

 

      f_aprox4(x,h)=(1.0d+00/(12.0d+00*h))*(f(x-2.0d+00*h)-8.0d+00*

 

     *      f(x-h)+8.0d+00*f(x+h)-f(x+2.0d+00*h))

 

     

 

      punt_x = 1.8d+00

      h = 0.1d+00

 

 

      print *, "APROXIMACION DE DERIVADAS DE FUNCIONES"

 

 

 

c     Calculamos la función aproximada y los errores absoluto

 

c     y relativo. Orden 2.

 

      print *, "Formula de orden 2"

 

      write (*,100) 'H','Resultado','E.Absoluto','E.Relativo'

 

      write (*,100) ('------------', i = 1, 4)

 

 

      do i = 1, 5

            res2 = f_aprox2(punt_x,h)

            error_abs2 = abs(f_der(punt_x)-res2)

          error_rel2 = error_abs2/f_der(punt_x)

            write (*,200) h, res2, error_abs2, error_rel2   

 

            h = h * 0.1d+00

      enddo       

     

 

      h = 0.1d+00

 

     

 

      print *, " "

 

     

 

c     Calculamos la función aproximada y los errores absoluto

 

c     y relativo. Orden 4.

 

      print *, "Formula de orden 4"

 

      write (*,100) 'H','Resultado','E.Absoluto','E.Relativo'

 

      write (*,100) ('------------', i = 1, 4)

 

      do i = 1, 5

            res4 = f_aprox4(punt_x,h)

            error_abs4 = abs(f_der(punt_x)-res4)

          error_rel4 = error_abs4/f_der(punt_x)

            write (*,200) h, res4, error_abs4, error_rel4   

 

            h = h * 0.1d+00

      enddo                 

          

 

  100 format(4A15\,/)

 

  200 format(4F15.10\,/)

 

  300 format(2F15.10\,/)

 

 

      end