Práctica 3: Integración Numérica

La importancia de la integración numérica puede apreciarse al notar con qué frecuencia la formulación de problemas en el análisis aplicado incluye derivadas. Es por tanto natural esperar que la solución de tales problemas incluya integrales. Para la mayor parte de las derivadas no es posible la representación en términos de las funciones elementales, por lo que la aproximación se vuelve necesaria.

Así, la integración numérica nos da una aproximación numérica a la integral de una función:

Siendo  una función integrable en el intervalo acotado . En términos de matemáticas el cálculo de integrales se conoce con el nombre de cuadratura, reservándose el término integración para la resolución de ecuaciones diferenciales.

La mayor parte de los métodos numéricos aproximan por una combinación lineal de valores de :

Esta función asocia a cada  un número real y constituye lo que se llama una regla de cuadratura.

Así, los dos métodos que estudiaremos estarán basados en estas reglas de cuadratura. Estas reglas de cuadratura se basan en polinomios interpolantes, que consisten en seleccionar un conjunto de nodos distintos  de un intervalo . Si  es el polinomio interpolante de Lagrange

integramos  y su término de error de truncamiento sobre  para obtener la fórmula de cuadratura

donde  está en  para cada  

para cada

Las reglas que vamos a utilizar y aplicar en esta práctica son resultado de integrar polinomios de Lagrange de primer y segundo grado.

Regla del Trapecio

La regla del Trapecio la obtenemos de integrar el polinomio de Lagrange de primer grado:

Se llama regla del trapecio porque resulta de aproximar la función  calculando el área del  trapecio que resulta de la siguiente gráfica:

Observamos que la regla del trapecio dará resultado exacto cuando se trate de una función cuya segunda derivada sea igual a 0, o sea, cualquier polinomio de grado 1 o menor.

Regla de Simpson

Así, la regla de Simpson se obtiene de integrar el polinomio de Lagrange de segundo grado sobre  con nodos ,  y , donde .

Gráficamente:

Asimismo observamos que la regla de Simpson nos dará resultado exacto cuando se trate de polinomios de orden 4.

Diremos que una regla de cuadratura tiene grado de exactitud  si halla exactamente la integral de cada polinomio de grado , pero no halla exactamente la integral de algún polinomio de grado . En principio parece razonable suponer que es conveniente considerar reglas de grado de exactitud alto.

Según el grado de exactitud definido las reglas de los trapecios y de Simpson tendrán grado de exactitud 1 y 3 respectivamente.

Reglas compuestas

Las reglas simples de los trapecios y de Simpson son de utilidad limitada. Se observa que para que el error al usarlas sea pequeño es necesario que la longitud  del intervalo de integración sea pequeña relativamente al tamaño de las derivadas del integrando.

Así el mejor sistema para aproximar mejor las integrales con las reglas de los trapecios y de Simpson es introducir particiones y aproximar cada una de las integrales en los subintervalos por alguna de las dos reglas.

Así obtendríamos las llamadas formulas compuestas, de los trapecios:

y de Simpson:

Esta práctica ha consistido en conseguir aproximaciones de ciertas funciones mediante estos dos métodos expuestos anteriormente, así como sus cotas de error.

Seguidamente anotaré los resultados obtenidos de implementar los algoritmos de los métodos simples y compuestos de los trapecios y de Simpson.

Como podemos observar se aprecia un error considerable, sobretodo en la regla de los trapecios simple. En las reglas compuestas podemos observar que se aproximan mucho los resultados hasta convertirse en casi exactos para un número limitado de cifras decimales, como puede ser 6. También podemos ver que la regla simple de Simpson se aproxima bastante a los resultados. Esto comprueba empíricamente que el grado de exactitud nos aproxima mejor las integrales según este es mayor, cosa que habíamos intuido, ya que el grado de exactitud de la regla de Simpson es 3 y la de los trapecios 1.