Práctica 4: Interpolación
Supongamos que tenemos 
pares de datos 
que representan puntos de la gráfica
de una función 
donde no se conoce la
forma explícita de 
.
Se asume que cada valor de la variable
independiente 
para 
es diferente.
Deseamos aproximar mediante una función 
que sea fácilmente
manipulable matemáticamente y que pueda evaluarse en cualquier 
dentro del intervalo 
que contiene a las para .
Posteriormente el valor de se utiliza para
aproximar . Dado que tenemos valores de la función 
para podemos imponer 
condiciones para
determinar los coeficientes en la aproximación polinomial.
Esto significa que podemos determinar un
polinomio 
de grado máximo 
, con los coeficientes determinados por las condiciones:
para
Llamaremos polinomio de interpolación
a aquel polinomio que se aproxima a sobre un intervalo 
y que satisface para .
Así, esta práctica consistirá en implementar los algoritmos de los métodos de interpolación de Newton y segmentaria sobre una función determinada, comparando y comentando los resultados.
Polinomio de Newton
La idea básica del método de Newton es
construir la solución en pasos sucesivos. Primero construiremos el polinomio 
de grado 
(es decir, constante)
que coincide con la función en el punto 
.Luego construiremos el polinomio de 
grado 
que coincide con la
función en ,
.A continuación el polinomio 
grado 
que coincide con la
función en , , 
y así hasta llegar al
polinomio que buscamos con grado 
. Observamos que en cada paso el polinomio 
existe y es único en
virtud de la existencia y unicidad de la solución del problema.
Así, el polinomio de Newton será:
Cada uno de los 
anteriores los
llamaremos diferencias divididas.
Observamos que las diferencias divididas 
tienen la propiedad de
que cada se obtiene añadiendo
un término a 
. Es decir, se pueden incluir puntos adicionales con solo
sumarle un término. Análogamente pueden quitarse puntos.
La formula compacta de la expresión anterior será:
Aparte de algunas ventajas ya expuestas
también tiene como ventaja el hecho de que pueden detectarse fácilmente errores
aleatorios en los valores de la función observando la tabla de diferencias
divididas si se observa que estas se comportan de manera errática. También nos
da un indicio del grado máximo del polinomio de interpolación requerido para
una precisión en particular. Por ejemplo, si un conjunto dado de puntos se
puede representar exactamente mediante un polinomio de grado , significa que la columna de la -ésima diferencia es constante.
Método segmentario
En lugar de usar un solo polinomio, presumiblemente de alto grado, podemos unir varios segmentos de polinomio, cada uno de ellos de bajo grado.
El ejemplo clásico es un conjunto de segmentos de línea, en donde
cada uno de ellos corresponde a los datos proporcionados sobre un subintervalo.
Esta aproximación es continua pero tiene una primera derivada con
discontinuidades en los extremos del intervalo, las esquinas.
Asimismo podremos usar un conjunto de segmentos cúbicos que se reconstruyen de tal modo que las esquinas se redondean, siendo continuas tanto la primera como la segunda derivada de la aproximación.
En esta práctica hemos implementado el
algoritmo del polinomio de Newton y de la interpolación segmentaria para
aproximar la función 
en el intervalo 
. Los resultados que hemos obtenido los mostrarmos
gráficamente mediante el programa GnuPlot:
Utilizando el polinomio de Newton y con 11 puntos:
Podemos observar al tener las dos gráficas superpuestas que la interpolación no es buena ya que no se acerca lo suficiente a la función.
Utilizando la interpolación segmentaria con 11 puntos y segmentos de grado 2:
Podemos observar que con el mismo número de puntos obtenemos una aproximación casi perfecta, sin apenas error perceptible. Esto será usando 11 puntos y segmentos de polinomios de grado 2.
Utilizando la interpolación segmentaria con 101 puntos y segmentos de polinomios de grado 5:
Observamos que en este caso la aproximación es ya casi perfecta, con errores de grado muy elevado o nulos.