Práctica 5: Métodos Iterativos

Los métodos iterativos de los cuales hablaremos en esta práctica se encargan de resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma

donde  es una matriz real  conocida,  un vector (columna) conocido con  componentes  y  el vector (columna) que buscamos, con  componentes . En términos de cantidades escalares se rescribe:

Si la matriz  es invertible entonces posee una única solución  y no hay más que decir. Sin embargo, en muchas aplicaciones es preciso resolver sistemas de forma efectiva. De hecho es una tarea muy usada en computación. Como consecuencia existirán muchos métodos para resolver este tipo de sistemas como el método de Gauss, el de Jacobi, el de Gauss-Seidel,...

Los métodos que vamos a estudiar e implementar en el lenguaje de programación Fortran serán el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos producen una secuencia de aproximaciones sucesivas que bajo condiciones especificadas convergen a un vector solución.

Método de Jacobi

El método de Jacobi consistirá en calcular las soluciones de modo:

Así, la forma compacta del método iterativo de Jacobi será:

para .

Método de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel consiste en sustituir el parámetro  del primer sumatorio por el parámetro  en el método de Jacobi. Este parámetro será el que estamos calculando actualmente. Así, nos quedará:

para .

Este método de Gauss-Seidel convergerá más rapidamente que el método de Jacobi a causa del cambio realizado.

En esta práctica implementaremos los algoritmos necesarios para resolver sistemas lineales mediante los métodos iterativos de Jacobi y de Gauss-Seidel. Como condiciones de parada del bucle introduciremos un máximo de iteraciones (para funciones que son asintóticas, con las cuales no acabaríamos nunca) y una condición de tolerancia para detenerlo cuando la aproximación sea lo buena que deseemos. Esta condición será:

 

tomando como  el valor 0.00005.

Inicialmente consideraremos .

El problema a aproximar numéricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

del cual conocemos la solución real:

Introduciendo estos datos en el programa realizado en Fortran hemos obtenido los siguientes resultados:

Con el método de Jacobi:

Podemos comprobar que se aproxima mucho a la solución real del problema, produciendo un error de orden elevado, a partir del octavo decimal, es decir, tiene siete cifras decimales exactas, lo cual nos indica que el error tendrá un orden 8.

Con el método de Gauss-Seidel:

Con el método de Gauss-Seidel observamos que nos aproxima mucho más el resultado. Así, tendremos diez cifras decimales exactas, por lo tanto será un sistema con error de orden 11.